【行列式怎么展开】行列式是线性代数中的一个重要概念，常用于求解线性方程组、判断矩阵的可逆性等。行列式的展开是计算其值的关键步骤之一。根据不同的情况，行列式的展开方式也有所不同。
一、行列式展开的基本方法
行列式的展开通常基于按行或按列展开，也就是利用余子式和代数余子式进行计算。
1. 按行展开（Row Expansion）
对于一个 $ n \times n $ 的矩阵 $ A = (a_{ij}) $，其行列式可以按第 $ i $ 行展开：
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij}
$$
其中，$ C_{ij} $ 是元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式，定义为：
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
而 $ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行和第 $ j $ 列后的子矩阵的行列式，称为余子式。
2. 按列展开（Column Expansion）
同样地，也可以按第 $ j $ 列展开：
$$
\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij}
$$
二、行列式展开的适用场景
| 展开方式 | 适用情况 | 优点 |
| 按行展开 | 当某一行有较多零元素时 | 减少计算量 |
| 按列展开 | 当某一列有较多零元素时 | 减少计算量 |
| 按任意行/列展开 | 通用情况 | 灵活，适用于各种矩阵 |
三、行列式展开的示例
以一个 $ 3 \times 3 $ 矩阵为例：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
$$
按第一行展开：
$$
\det(A) = 1 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13}
$$
分别计算各余子式：
- $ C_{11} = (+1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3 $
- $ C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = - (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) = - (36 - 42) = 6 $
- $ C_{13} = (+1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = 32 - 35 = -3 $
所以，
$$
\det(A) = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0
$$
四、总结
| 展开方式 | 方法 | 特点 |
| 按行展开 | 选择某一行，逐个元素乘以对应的代数余子式 | 适合有零元素的行 |
| 按列展开 | 选择某一列，逐个元素乘以对应的代数余子式 | 适合有零元素的列 |
| 代数余子式 | 包含符号变化和余子式 | 是行列式展开的核心 |
通过合理选择展开的行或列，可以有效简化行列式的计算过程，提高计算效率。
注意：在实际计算中，如果矩阵较大，建议使用计算机软件辅助计算，如 MATLAB、Mathematica 或 Python 的 NumPy 库。