【用逐差法测量杨氏模量的公式】在材料力学中，杨氏模量（Young's Modulus）是衡量材料刚度的重要参数，通常用于描述材料在受拉或受压时的应力与应变之间的关系。为了提高测量精度，常采用“逐差法”来处理实验数据。本文将总结使用逐差法测量杨氏模量的基本公式，并通过表格形式展示相关参数和计算步骤。
一、基本原理
杨氏模量 $ E $ 的定义为：
$$
E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{F/A}{\Delta L/L}
$$
其中：
- $ F $：作用力（单位：牛顿）
- $ A $：横截面积（单位：平方米）
- $ \Delta L $：长度变化（单位：米）
- $ L $：原始长度（单位：米）
在实际实验中，由于测量误差的存在，直接测量每组数据后计算 $ E $ 可能引入较大偏差。因此，采用逐差法对数据进行处理，可以有效减少系统误差，提高测量精度。
二、逐差法简介
逐差法是一种通过对等差数列数据进行分组并求差值的方法，以消除系统误差和简化计算。适用于等间距测量的数据。
例如，若测得一组等间距的伸长量 $ \Delta L_1, \Delta L_2, \ldots, \Delta L_n $，则可将数据分为若干组，计算每组的平均差值，再代入公式求出 $ E $。
三、逐差法测量杨氏模量的公式推导
假设实验中施加了 $ n $ 个等质量的砝码，每个砝码质量为 $ m $，重力加速度为 $ g $，则每个砝码对应的力为 $ F = mg $。
设钢丝的原始长度为 $ L $，直径为 $ d $，则横截面积为：
$$
A = \frac{\pi d^2}{4}
$$
测得各次伸长量为 $ \Delta L_1, \Delta L_2, \ldots, \Delta L_n $，将其按顺序分为 $ k $ 组，每组 $ m $ 个数据，则第 $ i $ 组的平均伸长量为：
$$
\overline{\Delta L_i} = \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \Delta L_{i+j}
$$
每组对应的力为 $ F_i = m \cdot g \cdot i $（假设每组增加一个砝码）
则每组对应的杨氏模量为：
$$
E_i = \frac{F_i}{A} \cdot \frac{L}{\overline{\Delta L_i}}
$$
最终取所有 $ E_i $ 的平均值作为测量结果：
$$
E = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} E_i
$$
四、实验数据与计算表格示例
| 砝码编号 | 力 $ F_i $ (N) | 测量次数 | 伸长量 $ \Delta L $ (mm) | 平均伸长量 $ \overline{\Delta L_i} $ (mm) | 杨氏模量 $ E_i $ (Pa) |
| 1 | 0.98 | 1 | 0.05 | 0.06 | 2.13×10¹¹ |
| 1 | 0.98 | 2 | 0.07 | ||
| 2 | 1.96 | 3 | 0.12 | 0.13 | 2.08×10¹¹ |
| 2 | 1.96 | 4 | 0.14 | ||
| 3 | 2.94 | 5 | 0.18 | 0.19 | 2.10×10¹¹ |
| 3 | 2.94 | 6 | 0.20 |
注：以上数据为模拟数据，实际实验需根据具体测量情况填写。
五、总结
使用逐差法测量杨氏模量能够有效降低随机误差的影响，提高实验结果的准确性。通过合理分组并计算每组的平均伸长量，结合已知的力和几何参数，可以较为精确地得出杨氏模量的值。该方法在材料力学实验中具有广泛的应用价值。
如需进一步分析误差来源或优化实验方案，可根据上述公式进行扩展研究。