【关于tan的公式】在三角函数中，tan（正切）是一个非常重要的函数，常用于几何、物理和工程等领域。tan函数是正弦与余弦的比值，其定义域为所有不使cosθ为0的角度。本文将对tan的相关公式进行系统总结，并以表格形式清晰展示。
一、基本公式
1. 定义式
$$ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $$
2. 倒数关系
$$ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} $$
3. 平方关系
$$ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $$
4. 周期性
$$ \tan(\theta + k\pi) = \tan\theta \quad (k \in \mathbb{Z}) $$
5. 奇偶性
$$ \tan(-\theta) = -\tan\theta $$
二、诱导公式
| 角度 | 公式 |
| $\tan(\pi - \theta)$ | $-\tan\theta$ |
| $\tan(\pi + \theta)$ | $\tan\theta$ |
| $\tan(2\pi - \theta)$ | $-\tan\theta$ |
| $\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ | $\cot\theta$ |
| $\tan\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)$ | $-\cot\theta$ |
三、和差角公式
| 公式 | 表达式 |
| $\tan(\alpha + \beta)$ | $\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$ |
| $\tan(\alpha - \beta)$ | $\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$ |
四、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| $\tan(2\theta)$ | $\frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ |
| $\tan(3\theta)$ | $\frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$ |
五、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$ | $\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ 或 $\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ |
六、常用角度的tan值
| 角度（弧度） | tan值 |
| 0 | 0 |
| $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $\frac{\pi}{4}$ | 1 |
| $\frac{\pi}{3}$ | $\sqrt{3}$ |
| $\frac{\pi}{2}$ | 未定义 |
总结
tan函数作为三角函数的重要组成部分，在数学和实际应用中具有广泛用途。掌握其基本公式、诱导公式、和差角、倍角、半角等公式，有助于更深入地理解三角函数的性质，并在解题过程中灵活运用。通过表格的形式，可以更加直观地记忆和对比不同公式的应用场景。