【除法导数公式的解释】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。当涉及到两个函数相除时，即复合函数的商形式，我们需要使用除法导数公式来求其导数。这个公式不仅在数学理论中有广泛应用，在物理、工程等实际问题中也十分常见。
一、
设函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则该函数的导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式称为商法则（Quotient Rule），可以看作是乘法法则的延伸。它的核心思想是：分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。
为了便于记忆和应用，我们可以将它拆解成以下几个步骤：
1. 分别对分子 $ u(x) $ 和分母 $ v(x) $ 求导；
2. 将分子导数与分母相乘；
3. 减去分子与分母导数的乘积；
4. 最后将结果除以分母的平方。
二、表格展示
| 步骤 | 内容 | 公式表达 |
| 1 | 对分子求导 | $ u'(x) $ |
| 2 | 对分母求导 | $ v'(x) $ |
| 3 | 分子导数 × 分母 | $ u'(x) \cdot v(x) $ |
| 4 | 分子 × 分母导数 | $ u(x) \cdot v'(x) $ |
| 5 | 差值 | $ u'(x)v(x) - u(x)v'(x) $ |
| 6 | 除以分母的平方 | $ \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ |
三、示例说明
假设 $ f(x) = \frac{x^2}{\sin x} $，我们来计算其导数：
- $ u(x) = x^2 $，所以 $ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = \sin x $，所以 $ v'(x) = \cos x $
代入公式得：
$$
f'(x) = \frac{2x \cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x}{(\sin x)^2}
$$
四、注意事项
- 当分母为零时，该函数不可导；
- 若分母是一个常数，可以直接用常数倍数法则简化运算；
- 商法则与乘法法则有相似结构，但符号不同，需注意减号的位置。
通过理解并掌握除法导数公式，我们可以更有效地处理涉及函数商的导数问题，为后续的极值分析、曲线绘制等提供基础支持。